Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} π {(1 - x^{2})}^{2} d x$

Passaggio 1

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , sposta $π$ fuori dall'integrale.

$π \int_{0}^{1} {(1 - x^{2})}^{2} d x$

Passaggio 2

Espandi ${(1 - x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(1 - x^{2})}^{2}$ come $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ .

$π \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) (1 - x^{2}) d x$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$π \int_{0}^{1} 1 (1 - x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}) d x$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}) d x$

Passaggio 2.4

Applica la proprietà distributiva.

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}) d x$

Passaggio 2.5

Sposta $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) d x$

Passaggio 2.6

Sposta $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Passaggio 2.7

Moltiplica $1$ per $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Passaggio 2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Passaggio 2.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + 1 x^{2} x^{2} d x$

Passaggio 2.11

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{2} x^{2} d x$

Passaggio 2.12

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{2 + 2} d x$

Passaggio 2.13

Somma $2$ e $2$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{4} d x$

Passaggio 2.14

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - 2 x^{2} + x^{4} d x$

Passaggio 2.15

Riordina $- 2 x^{2}$ e $x^{4}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 + x^{4} - 2 x^{2} d x$

Passaggio 2.16

Sposta $1$ .

$π \int_{0}^{1} x^{4} - 2 x^{2} + 1 d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$π (\int_{0}^{1} x^{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Passaggio 5

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Passaggio 6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x)$

Passaggio 8

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x)$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1})$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}$ e $x]_{0}^{1}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Passaggio 10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Calcola $\frac{x^{5}}{5} + x$ per $1$ e per $0$ .

$π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Passaggio 10.2.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.4

Somma $1$ e $5$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.6

Elimina il fattore comune di $0$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.6.1

Scomponi $5$ da $0$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 (0)}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.6.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0}{1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.6.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$π (\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.7

Somma $0$ e $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.8

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$π (\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.9

Somma $\frac{6}{5}$ e $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.11

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Passaggio 10.2.3.12

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.12.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Passaggio 10.2.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.12.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Passaggio 10.2.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Passaggio 10.2.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Passaggio 10.2.3.12.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0))$

Passaggio 10.2.3.13

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.14

Somma $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3}))$

Passaggio 10.2.3.15

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$π (\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3})$

Passaggio 10.2.3.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$π (\frac{6}{5} - \frac{2}{3})$

Passaggio 10.2.3.17

Per scrivere $\frac{6}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 10.2.3.18

Per scrivere $- \frac{2}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Passaggio 10.2.3.19

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.19.1

Moltiplica $\frac{6}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Passaggio 10.2.3.19.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Passaggio 10.2.3.19.3

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Passaggio 10.2.3.19.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15})$

Passaggio 10.2.3.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$π \frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

Passaggio 10.2.3.21

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.21.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$π \frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

Passaggio 10.2.3.21.2

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$π \frac{18 - 10}{15}$

Passaggio 10.2.3.21.3

Sottrai $10$ da $18$ .

$π \frac{8}{15}$

Passaggio 10.2.3.22

$π$ e $\frac{8}{15}$ .

$\frac{π \cdot 8}{15}$

Passaggio 10.2.3.23

Sposta $8$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{8 π}{15}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{8 π}{15}$

Forma decimale:

$1.67551608 \dots$

Passaggio 12