Calcolo Esempi

$x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.2

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3

Poiché $\frac{1}{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{1}{x}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$0 + 0 + x + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi $\frac{1}{y}$ come $y^{- 1}$ .

$0 + 0 + x + \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 + 0 + x - y^{- 2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 0 + x - y^{- 2} + 2 y$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 0 + x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

Passaggio 5.2.2

Somma $0$ e $x$ .

$x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$x + 2 y - \frac{1}{y^{2}}$