Calcolo Esempi

$x y = 8$ , $x = 1$ and $x = 5$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = \frac{8}{x}$

Passaggio 2

Semplifica l'integrando.

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Passaggio 2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{x}$ .

$V = \frac{8^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$V = \frac{64}{x^{2}}$

Passaggio 3

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , sposta $64$ fuori dall'integrale.

$V = π (64 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Sposta $64$ alla sinistra di $π$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$V = 64 π - x^{- 1}]_{1}^{5}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $- x^{- 1}$ per $5$ e per $1$ .

$V = 64 π ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

Passaggio 6.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1)$

Passaggio 6.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

Passaggio 6.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = 64 π (\frac{- 1 + 5}{5})$

Passaggio 6.2.5

Somma $- 1$ e $5$ .

$V = 64 π (\frac{4}{5})$

Passaggio 6.2.6

$\frac{4}{5}$ e $64$ .

$V = \frac{4 \cdot 64}{5} \cdot π$

Passaggio 6.2.7

Moltiplica $4$ per $64$ .

$V = \frac{256}{5} \cdot π$

Passaggio 6.2.8

$\frac{256}{5}$ e $π$ .

$V = \frac{256 π}{5}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{256 π}{5}$

Forma decimale:

$V = 160.84954386 \dots$

Passaggio 8