Calcolo Esempi

${(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{4}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{3 x} + \sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{3 x} + \sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + \sin (2 x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{3 x} + \sin (2 x)$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + \sin (2 x)]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{3 x} + \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Passaggio 4.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $2 x$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 5.2

La derivata di $\sin (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\cos (u_{3})$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 x$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 6.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 6.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + 2 \cos (2 x))$