Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{2} + \frac{2}{3} x^{- 3} + \frac{2}{3} x^{3} - x^{- 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + \frac{2}{3} x^{- 3} + \frac{2}{3} x^{3} - x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{3} x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$6 x + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$6 x + \frac{2}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.3

$- 3$ e $\frac{2}{3}$ .

$6 x + \frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$6 x + \frac{- 6}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.5

$\frac{- 6}{3}$ e $x^{- 4}$ .

$6 x + \frac{- 6 x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.6

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x + \frac{- 6}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.7

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{4}$ .

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 x + \frac{- 2}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.3

$3$ e $\frac{2}{3}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.5

$\frac{6}{3}$ e $x^{2}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.6

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

Scomponi $3$ da $6 x^{2}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.6.2.4

Dividi $2 x^{2}$ per $1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} - - x^{- 2}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + 1 x^{- 2}$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + x^{- 2}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.7

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 x^{2} + 6 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 6 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$4 x + 6 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 x + 6 + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$4 x + 6 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$4 x + 6 - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$4 x + 6 - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x + 6 - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 6 - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$4 x + 6 - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.4.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 x + 6 - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.4.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x + 6 - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.4.8

Sottrai $4$ da $1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 2.5.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{4}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 2.5.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 2.5.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{4}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 2.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.5.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.5.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.5.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Passaggio 2.5.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Passaggio 2.5.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{3 - 8})$

Passaggio 2.5.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{- 5})$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} + 8 x^{- 5}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 6 - 2 \frac{1}{x^{3}} + 8 x^{- 5}$

Passaggio 2.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 6 - 2 \frac{1}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 2.6.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x + 6 + \frac{- 2}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 2.6.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 x + 6 - \frac{2}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 2.6.3.3

$8$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$4 x + 6 - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}}$

Passaggio 2.6.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = 4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$ .

$4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$