Calcolo Esempi

$\frac{1}{1 - \sin (x)}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ come ${(1 - \sin (x))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - \sin (x))}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - \sin (x)$ .

$- {(1 - \sin (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- {(1 - \sin (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(1 - \sin (x))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- {(1 - \sin (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- {(1 - \sin (x))}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.5

Moltiplica.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 {(1 - \sin (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ${(1 - \sin (x))}^{- 2}$ per $1$ .

${(1 - \sin (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

${(1 - \sin (x))}^{- 2} \cos (x)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 - \sin (x))}^{2}} \cos (x)$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$