Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{24} x^{6} + \frac{1}{15} x^{- 4} - \frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{- 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{24} x^{6} + \frac{1}{15} x^{- 4} - \frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{24}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{24} x^{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{1}{24} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.3

$6$ e $\frac{1}{24}$ .

$\frac{6}{24} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.4

$\frac{6}{24}$ e $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $6$ e $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Scomponi $6$ da $6 x^{5}$ .

$\frac{6 (x^{5})}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Scomponi $6$ da $24$ .

$\frac{6 x^{5}}{6 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x^{5}}{6 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $\frac{1}{15}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{15} x^{- 4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{1}{15} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.3

$- 4$ e $\frac{1}{15}$ .

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{- 4}{15} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.4

$\frac{- 4}{15}$ e $x^{- 5}$ .

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{- 4 x^{- 5}}{15} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.5

Sposta $x^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{- 4}{15 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- \frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{5} x^{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - \frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - 5 (\frac{1}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.4

$- 5$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{- 5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.5

$\frac{- 5}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{- 5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.6

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

Scomponi $5$ da $- 5 x^{4}$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{5 (- x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{- x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.6.2.4

Dividi $- x^{4}$ per $1$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} + 2 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} - 2 x^{- 2}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Passaggio 1.6.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} - \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 1.6.3

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{x^{5}}{4} - x^{4} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{15 x^{5}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{5}}{4} - x^{4} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{15 x^{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{5}}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.3

$5$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.4

$\frac{5}{4}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.4.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.4.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.4.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.4.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.4.10

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- \frac{4}{15}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{15 x^{5}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{4}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{5}}$ come ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Passaggio 2.5.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{5}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 2.5.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 2.5.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{5}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 2.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Passaggio 2.5.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Passaggio 2.5.5.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Passaggio 2.5.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Passaggio 2.5.7

Moltiplica $x^{- 10}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1

Sposta $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Passaggio 2.5.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- 5 x^{4 - 10})$

Passaggio 2.5.7.3

Sottrai $10$ da $4$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- 5 x^{- 6})$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + 5 (\frac{4}{15}) x^{- 6}$

Passaggio 2.5.9

$5$ e $\frac{4}{15}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{5 \cdot 4}{15} x^{- 6}$

Passaggio 2.5.10

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{20}{15} x^{- 6}$

Passaggio 2.5.11

$\frac{20}{15}$ e $x^{- 6}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{20 x^{- 6}}{15}$

Passaggio 2.5.12

Sposta $x^{- 6}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{20}{15 x^{6}}$

Passaggio 2.5.13

Elimina il fattore comune di $20$ e $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.13.1

Scomponi $5$ da $20$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{5 (4)}{15 x^{6}}$

Passaggio 2.5.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.13.2.1

Scomponi $5$ da $15 x^{6}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{5 (4)}{5 (3 x^{6})}$

Passaggio 2.5.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{5 \cdot 4}{5 (3 x^{6})}$

Passaggio 2.5.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{4}{3 x^{6}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 \frac{1}{x^{3}} + \frac{4}{3 x^{6}}$

Passaggio 2.6.2

$4$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{4}{3 x^{6}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{4}{3 x^{6}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{5}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x^{4}}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.2.3

$4$ e $\frac{5}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.2.5

$\frac{20}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.2.6

Elimina il fattore comune di $20$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Scomponi $4$ da $20 x^{3}$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.2.6.2.4

Dividi $5 x^{3}$ per $1$ .

$5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 3.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{3}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.4.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.4.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.4.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Passaggio 3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$ .

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Passaggio 3.5.1

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{3 x^{6}}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{6}}$ come ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Passaggio 3.5.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{6}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 3.5.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 3.5.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{6}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 3.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Passaggio 3.5.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{6})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.5.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Passaggio 3.5.5.2

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Passaggio 3.5.7

Moltiplica $x^{- 12}$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.7.1

Sposta $x^{5}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Passaggio 3.5.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- 6 x^{5 - 12})$

Passaggio 3.5.7.3

Sottrai $12$ da $5$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- 6 x^{- 7})$

Passaggio 3.5.8

$- 6$ e $\frac{4}{3}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{- 6 \cdot 4}{3} x^{- 7}$

Passaggio 3.5.9

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{- 24}{3} x^{- 7}$

Passaggio 3.5.10

$\frac{- 24}{3}$ e $x^{- 7}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{- 24 x^{- 7}}{3}$

Passaggio 3.5.11

Sposta $x^{- 7}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{- 24}{3 x^{7}}$

Passaggio 3.5.12

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $3$ .

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Passaggio 3.5.12.1

Scomponi $3$ da $- 24$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{3 \cdot - 8}{3 x^{7}}$

Passaggio 3.5.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.12.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{7}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{3 \cdot - 8}{3 (x^{7})}$

Passaggio 3.5.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{3 \cdot - 8}{3 x^{7}}$

Passaggio 3.5.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{- 8}{x^{7}}$

Passaggio 3.5.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} - \frac{8}{x^{7}}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 \frac{1}{x^{4}} - \frac{8}{x^{7}}$

Passaggio 3.6.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.6.2.1

$- 12$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{- 12}{x^{4}} - \frac{8}{x^{7}}$

Passaggio 3.6.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = 5 x^{3} - 12 x^{2} - \frac{12}{x^{4}} - \frac{8}{x^{7}}$

Passaggio 4

La derivata terza di $f (x)$ rispetto a $x$ è $5 x^{3} - 12 x^{2} - \frac{12}{x^{4}} - \frac{8}{x^{7}}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - \frac{12}{x^{4}} - \frac{8}{x^{7}}$