Calcolo Esempi

$\int 2 x^{3} \sin (3 x^{4}) d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int x^{3} \sin (3 x^{4}) d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ come ${u_{1}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 3.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{2}$ e $u_{1}$ .

$2 \int \frac{u_{1}}{2} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Passaggio 3.3

$\frac{u_{1}}{2}$ e $\sin (3 {u_{1}}^{2})$ .

$2 \int \frac{u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$ per $1$ .

$\int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = 3 {u_{1}}^{2}$ . Allora $d u_{2} = 6 u_{1} d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{6} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = 3 {u_{1}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $3 {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 {u_{1}}^{2}]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $3 {u_{1}}^{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $3 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 u_{1})$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 u_{1}$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \sin (u_{2}) \frac{1}{6} d u_{2}$

Passaggio 7

$\sin (u_{2})$ e $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{\sin (u_{2})}{6} d u_{2}$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 9

L'integrale di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{2}) + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{2})) + C$

Passaggio 10.2

$\frac{1}{6}$ e $\cos (u_{2})$ .

$- \frac{\cos (u_{2})}{6} + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 {u_{1}}^{2}$ .

$- \frac{\cos (3 {u_{1}}^{2})}{6} + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$- \frac{\cos (3 {(x^{2})}^{2})}{6} + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 12.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\cos (3 x^{2 \cdot 2})}{6} + C$

Passaggio 12.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\cos (3 x^{4})}{6} + C$

Passaggio 12.2

Riordina i termini.

$- \frac{1}{6} \cos (3 x^{4}) + C$