Calcolo Esempi

${(x^{2} + 1)}^{3}$

Passaggio 1

Scrivi ${(x^{2} + 1)}^{3}$ come funzione.

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

Passaggio 4

Espandi ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

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Passaggio 4.1

Usa il teorema binomiale.

$\int {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Passaggio 4.3

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Passaggio 4.4

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Passaggio 4.5

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1^{3} d x$

Passaggio 4.6

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot 1^{2} d x$

Passaggio 4.7

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

Passaggio 4.8

Sposta $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

Passaggio 4.9

Sposta $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

Passaggio 4.10

Sposta $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

Passaggio 4.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{2 + 2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 4.12

Somma $2$ e $2$ .

$\int x^{4} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 4.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{4 + 2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 4.14

Somma $4$ e $2$ .

$\int x^{6} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 4.15

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 4.16

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{6} + 3 x^{2 + 2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 4.17

Somma $2$ e $2$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 4.18

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 4.19

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 4.20

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 4.21

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 d x$

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{6} d x + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

Passaggio 7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 \int x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

Passaggio 9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 \int x^{2} d x + \int d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Passaggio 12.1.2

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

$\frac{x^{7}}{7} + \frac{3 x^{5}}{5} + x^{3} + x + C$

Passaggio 12.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$