Calcolo Esempi

$\int_{- 1}^{1} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x + 2} d x$

Passaggio 1

Dividi $3 x^{2} + 2 x + 1$ per $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{2} + 6 x$

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$

Passaggio 1.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$

Passaggio 1.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$

Passaggio 1.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$8$

Passaggio 1.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x - 8$

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$8$

Passaggio 1.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$8$
							+	$9$

Passaggio 1.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int_{- 1}^{1} 3 x - 4 + \frac{9}{x + 2} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 1}^{1} 3 x d x + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Passaggio 3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Passaggio 5

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Passaggio 7

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 8

Sia $u = x + 2$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x + 2$ .

$u_{lower} = - 1 + 2$

Passaggio 8.3

Somma $- 1$ e $2$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 8.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x + 2$ .

$u_{upper} = 1 + 2$

Passaggio 8.5

Somma $1$ e $2$ .

$u_{upper} = 3$

Passaggio 8.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Passaggio 8.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 10.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ e per $- 1$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Passaggio 10.2

Calcola $- 4 x$ per $1$ e per $- 1$ .

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Passaggio 10.3

Calcola $\ln (| u |)$ per $3$ e per $1$ .

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{1 - 1}{2} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.4.4

Sottrai $1$ da $1$ .

$3 (\frac{0}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.4.5

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.5.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$3 \frac{2 (0)}{2} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.4.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{0}{1}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.4.5.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.4.6

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.4.7

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$0 - 4 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.4.8

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$0 - 4 - 4 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.4.9

Sottrai $4$ da $- 4$ .

$0 - 8 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.4.10

Sottrai $8$ da $0$ .

$- 8 + 9 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Passaggio 12.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{3}{1})$

Passaggio 12.3

Dividi $3$ per $1$ .

$- 8 + 9 \ln (3)$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 8 + 9 \ln (3)$

Forma decimale:

$1.88751059 \dots$

Passaggio 14