Calcolo Esempi

\int 5 x (x - 4) (3 x + 5) d x

$\int 5 x (x - 4) (3 x + 5) d x$

Passaggio 1

Poiché

5

$5$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

5

$5$ fuori dall'integrale.

5 \int (x (x - 4)) (3 x + 5) d x

$5 \int (x (x - 4)) (3 x + 5) d x$

Passaggio 2

Sia

u = 3 x + 5

$u = 3 x + 5$ . Allora

d u = 3 d x

$d u = 3 d x$ , quindi

\frac{1}{3} d u = d x

$\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia

u = 3 x + 5

$u = 3 x + 5$ . Trova

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia

3 x + 5

$3 x + 5$ .

\frac{d}{d x} [3 x + 5]

$\frac{d}{d x} [3 x + 5]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

3 x + 5

$3 x + 5$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 2.1.3

Calcola

\frac{d}{d x} [3 x]

$\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché

3

$3$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

3 x

$3 x$ rispetto a

x

$x$ è

3 \frac{d}{d x} [x]

$3 \frac{d}{d x} [x]$ .

3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica

$3$ per

$1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché

$5$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$5$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$3 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma

$3$ e

$0$ .

$3$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando

$u$ e

$d u$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{5}{3} - 4) u \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Per scrivere

$- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{5}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3.2

$- 4$ e

$\frac{3}{3}$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{5}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} + \frac{- 5 - 4 \cdot 3}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Moltiplica

$- 4$ per

$3$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} + \frac{- 5 - 12}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3.4.2

Sottrai

$12$ da

$- 5$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} + \frac{- 17}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{17}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3.6

$\frac{1}{3}$ e

$u$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{17}{3}) \frac{u}{3} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1