Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Passaggio 1

Riscrivi $x^{8}$ come ${(x^{4})}^{2}$ .

$\int \frac{x^{3}}{1 + {(x^{4})}^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x^{4}$ . Allora $d u = 4 x^{3} d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = x^{4}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{1 + u^{2}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 4} d u$

Passaggio 3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $1 + u^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (1 + u^{2})} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Passaggio 5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ rispetto a $u$ è $\arctan (u) + C$ .

$\frac{1}{4} (\arctan (u) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{1}{4} \arctan (u) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \arctan (x^{4}) + C$