Calcolo Esempi

$y = - 4 x^{2} - \frac{2}{5} x^{- 4} + \frac{2}{3} x^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{2} - \frac{2}{5} x^{- 4} + \frac{2}{3} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- 8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- \frac{2}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{5} x^{- 4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- 8 x - \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$- 8 x - \frac{2}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$- 8 x + 4 (\frac{2}{5}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Passaggio 1.3.4

$4$ e $\frac{2}{5}$ .

$- 8 x + \frac{4 \cdot 2}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- 8 x + \frac{8}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Passaggio 1.3.6

$\frac{8}{5}$ e $x^{- 5}$ .

$- 8 x + \frac{8 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Passaggio 1.3.7

Sposta $x^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{3} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{2}{3} (4 x^{3})$

Passaggio 1.4.3

$4$ e $\frac{2}{3}$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{4 \cdot 2}{3} x^{3}$

Passaggio 1.4.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{8}{3} x^{3}$

Passaggio 1.4.5

$\frac{8}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{8 x^{3}}{3}$

Passaggio 1.5

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{8 x^{3}}{3} - 8 x + \frac{8}{5 x^{5}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{8 x^{3}}{3} - 8 x + \frac{8}{5 x^{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{8}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8 x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{8}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.3

$3$ e $\frac{8}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.5

$\frac{24}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.6

Elimina il fattore comune di $24$ e $3$ .

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Passaggio 2.2.6.1

Scomponi $3$ da $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.6.2.4

Dividi $8 x^{2}$ per $1$ .

$8 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $\frac{8}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8}{5 x^{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{8}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{5}}$ come ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

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Passaggio 2.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{5}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 2.4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 2.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{5}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.4.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Passaggio 2.4.5.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Passaggio 2.4.7

Moltiplica $x^{- 10}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.4.7.1

Sposta $x^{4}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Passaggio 2.4.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Passaggio 2.4.7.3

Sottrai $10$ da $4$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 x^{- 6})$

Passaggio 2.4.8

$- 5$ e $\frac{8}{5}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 5 \cdot 8}{5} x^{- 6}$

Passaggio 2.4.9

Moltiplica $- 5$ per $8$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 40}{5} x^{- 6}$

Passaggio 2.4.10

$\frac{- 40}{5}$ e $x^{- 6}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 40 x^{- 6}}{5}$

Passaggio 2.4.11

Sposta $x^{- 6}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 40}{5 x^{6}}$

Passaggio 2.4.12

Elimina il fattore comune di $- 40$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.12.1

Scomponi $5$ da $- 40$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{5 \cdot - 8}{5 x^{6}}$

Passaggio 2.4.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.12.2.1

Scomponi $5$ da $5 x^{6}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{5 \cdot - 8}{5 (x^{6})}$

Passaggio 2.4.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 x^{2} - 8 + \frac{5 \cdot - 8}{5 x^{6}}$

Passaggio 2.4.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 8}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 x^{2} - 8 - \frac{8}{x^{6}}$

Passaggio 2.5

Riordina i termini.

$f'' (x) = 8 x^{2} - \frac{8}{x^{6}} - 8$