Calcolo Esempi

$\int_{2}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} - 4$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} - 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{2} - 4$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 4$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{2} - 4$ .

$u_{upper} = 4^{2} - 4$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 16 - 4$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $4$ da $16$ .

$u_{upper} = 12$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 12$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\int_{0}^{12} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{0}^{12}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $12$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})})$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})})$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{1})$

Passaggio 6.2.4

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0)$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} + 0)$

Passaggio 6.2.6

Somma $2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.7

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot 12^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.8

$\frac{2}{2}$ e $12^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 6.2.9

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 6.2.10

Dividi $12^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$12^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$12^{\frac{1}{2}}$

Forma decimale:

$3.46410161 \dots$

Passaggio 8