Calcolo Esempi

$\arctan (x^{2} + 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x + 0)$

Passaggio 2.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x)$

Passaggio 2.4.2

$2$ e $\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Passaggio 2.4.3

$\frac{2}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riordina i termini.

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2} + 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ come $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + 1}$

Passaggio 3.2.2

Espandi $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x}{x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) + 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) + 1}$

Passaggio 3.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.3.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x}{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 3.2.3.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 3.2.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 3.2.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 3.2.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 + 1}$

Passaggio 3.2.3.2

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1 + 1}$

Passaggio 3.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 2}$