Calcolo Esempi

$y^{3} - x y^{2} + x^{3} = 5$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y^{3} - x y^{2} + x^{3}) = \frac{d}{d y} (5)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} - x y^{2} + x^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x y^{2}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$3 y^{2} - \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y^{2}$ .

$3 y^{2} - (x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 y^{2} - (x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$3 y^{2} - (x (2 y) + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + 3 u^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + 3 x^{2} x'$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} - (2 x y) - (y^{2} x') + 3 x^{2} x'$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 x y - y^{2} x' + 3 x^{2} x'$

Passaggio 3

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $5$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 y^{2} - 2 x y - y^{2} x' + 3 x^{2} x' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $3 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x y - y^{2} x' + 3 x^{2} x' = - 3 y^{2}$

Passaggio 5.1.2

Somma $2 x y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} x' + 3 x^{2} x' = - 3 y^{2} + 2 x y$

Passaggio 5.2

Scomponi $x'$ da $- y^{2} x' + 3 x^{2} x'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x'$ da $- y^{2} x'$ .

$x' (- y^{2}) + 3 x^{2} x' = - 3 y^{2} + 2 x y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x'$ da $3 x^{2} x'$ .

$x' (- y^{2}) + x' (3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x'$ da $x' (- y^{2}) + x' (3 x^{2})$ .

$x' (- y^{2} + 3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$

Passaggio 5.3

Dividi per $- y^{2} + 3 x^{2}$ ciascun termine in $x' (- y^{2} + 3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $- y^{2} + 3 x^{2}$ ciascun termine in $x' (- y^{2} + 3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$ .

$\frac{x' (- y^{2} + 3 x^{2})}{- y^{2} + 3 x^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{- y^{2} + 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- y^{2} + 3 x^{2}$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (- y^{2} + 3 x^{2})}{- y^{2} + 3 x^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{- y^{2} + 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{- y^{2} + 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $y$ da $- 3 y^{2} + 2 x y$ .

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Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $y$ da $- 3 y^{2}$ .

$x' = \frac{y (- 3 y) + 2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Scomponi $y$ da $2 x y$ .

$x' = \frac{y (- 3 y) + y (2 x)}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Scomponi $y$ da $y (- 3 y) + y (2 x)$ .

$x' = \frac{y (- 3 y + 2 x)}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 3 y$ .

$x' = \frac{y (- (3 y) + 2 x)}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $2 x$ .

$x' = \frac{y (- (3 y) - (- 2 x))}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Passaggio 5.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 y) - (- 2 x)$ .

$x' = \frac{y (- (3 y - 2 x))}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Passaggio 5.3.3.6

Riscrivi $- (3 y - 2 x)$ come $- 1 (3 y - 2 x)$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Passaggio 5.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- y^{2}$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- (y^{2}) + 3 x^{2}}$

Passaggio 5.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $3 x^{2}$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- (y^{2}) - (- 3 x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.9

Scomponi $- 1$ da $- (y^{2}) - (- 3 x^{2})$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- (y^{2} - 3 x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.10

Riscrivi $- (y^{2} - 3 x^{2})$ come $- 1 (y^{2} - 3 x^{2})$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- 1 (y^{2} - 3 x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.11

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- 1 (y^{2} - 3 x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.12

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{y (3 y - 2 x)}{y^{2} - 3 x^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y (3 y - 2 x)}{y^{2} - 3 x^{2}}$