Calcolo Esempi

$4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

Passaggio 1

Scrivi $4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ come funzione.

$f (x) = 4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 4 - 3 \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.1.2

$- 3$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\int 4 + \frac{- 3}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int 4 - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\int \frac{4 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{4 (1 + x^{2}) - 3}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{4 \cdot 1 + 4 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\int \frac{4 + 4 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.4.3

Sottrai $3$ da $4$ .

$\int \frac{4 x^{2} + 1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 5

Riordina $1$ e $x^{2}$ .

$\int \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 6

Dividi $4 x^{2} + 1$ per $x^{2} + 1$ .

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Passaggio 6.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$4 x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 6.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

							$4$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					+	$4 x^{2}$	+	$0$	+	$4$

Passaggio 6.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{2} + 0 + 4$

						$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$4$

Passaggio 6.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$4$
									-	$3$

Passaggio 6.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 4 - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 4 d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$4 x + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 x + C - \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 10

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$4 x + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 11.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 x + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 11.2

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$4 x + C - 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 11.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$4 x + C - 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C$ .

$4 x + C - 3 (\arctan (x) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$4 x - 3 \arctan (x) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$F (x) =$ $4 x - 3 \arctan (x) + C$