Calcolo Esempi

$x = \sqrt{\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}}$ come ${(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d θ} [{(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{\frac{1}{2}}$ e $g (θ) = \frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d θ} [\frac{f (θ)}{g (θ)}]$ è $\frac{g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)] - f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)]}{{g (θ)}^{2}}$ dove $f (θ) = 1 + \cos (θ)$ e $g (θ) = 1 - \cos (θ)$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 + \cos (θ)] - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Passaggio 9

Differenzia.

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Passaggio 9.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Passaggio 9.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $1$ rispetto a $θ$ è $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (0 + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Passaggio 9.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Passaggio 10

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Passaggio 11

Differenzia.

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Passaggio 11.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) (\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)])}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Passaggio 11.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $1$ rispetto a $θ$ è $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) (0 + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)])}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Passaggio 11.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Passaggio 11.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $- \cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) (- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Passaggio 11.5

Moltiplica.

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Passaggio 11.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + 1 (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Passaggio 11.5.2

Moltiplica $1 + \cos (θ)$ per $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Passaggio 12

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Passaggio 13

Riduci le frazioni.

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Passaggio 13.1

Moltiplica $\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{{(1 - \cos (θ))}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 13.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(1 - \cos (θ))}^{2}$ .

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 \cdot {(1 - \cos (θ))}^{2}} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} {(\frac{1 - \cos (θ)}{1 + \cos (θ)})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 14.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 - \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- \sin (θ)) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- \sin (θ)) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 14.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1 \sin (θ) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5.2

Riscrivi $- 1 \sin (θ)$ come $- \sin (θ)$ .

$\frac{- \sin (θ) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- \sin (θ) + 1 \cos (θ) \sin (θ) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5.4

Moltiplica $\cos (θ)$ per $1$ .

$\frac{- \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) - 1 \sin (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5.6

Riscrivi $- 1 \sin (θ)$ come $- \sin (θ)$ .

$\frac{- \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5.7

Sottrai $\sin (θ)$ da $- \sin (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5.8

Somma $\cos (θ) \sin (θ)$ e $\cos (θ) (- \sin (θ))$ .

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Passaggio 14.5.8.1

Riordina $\cos (θ)$ e $- 1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - 1 \cdot \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5.8.2

Sottrai $\cos (θ) \sin (θ)$ da $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{0 - 2 \sin (θ)}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5.9

Sottrai $2 \sin (θ)$ da $0$ .

$\frac{- 2 \sin (θ)}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5.10

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 14.5.10.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sin (θ)$ .

$\frac{2 (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5.10.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 14.5.10.2.1

Scomponi $2$ da $2 {(1 - \cos (θ))}^{2}$ .

$\frac{2 (- \sin (θ))}{2 ({(1 - \cos (θ))}^{2})} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sin (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5.12

Moltiplica $\frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{\sin (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$ .

$- \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} \sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Passaggio 14.5.13

Sposta ${(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{2} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5.14

Moltiplica ${(1 - \cos (θ))}^{2}$ per ${(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 14.5.14.1

Sposta ${(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} ({(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{2})}$

Passaggio 14.5.14.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Passaggio 14.5.14.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Passaggio 14.5.14.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 14.5.14.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 14.5.14.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 14.5.14.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Passaggio 14.5.14.6.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{\frac{3}{2}}}$