Calcolo Esempi

$e^{- {(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - {(t - 3)}^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- {(t - 3)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- {(t - 3)}^{2}$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- {(t - 3)}^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}]$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t - 3$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $t - 3$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $t - 3$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (2 (t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 ((t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (1 + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Passaggio 4.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (1 + 0))$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) \cdot 1)$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 t - 2 \cdot - 3)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 t + 6)$