Calcolo Esempi

$\int \frac{6 x \sqrt{2 x^{2} - 7}}{5} d x$

Passaggio 1

Poiché $\frac{6}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{6}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{6}{5} \int x \sqrt{2 x^{2} - 7} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 2 x^{2} - 7$ . Allora $d u = 4 x d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 2 x^{2} - 7$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 x^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 7]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 7]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $4 x$ e $0$ .

$4 x$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{6}{5} \int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 3

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{6}{5} (\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{6}{5}$ .

$\frac{6}{4 \cdot 5} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{6}{20} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (3)}{20} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $20$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 10} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 10} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{10} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{10} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{10} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\frac{3}{10} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{3}{10}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6}{10 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $10$ per $3$ .

$\frac{6}{30} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$\frac{6 (1)}{30} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.2.1

Scomponi $6$ da $30$ .

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 5} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 5} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x^{2} - 7$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{2} - 7)}^{\frac{3}{2}} + C$