Calcolo Esempi

$f (x) = x \cdot e^{x}$ , $[0, 1]$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[0, 1]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x \cdot e^{x} d x)$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola $x e^{x}$ per $1$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Passaggio 7.2

Calcola $e^{x}$ per $1$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $e$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Passaggio 7.3.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 \cdot 1 - ((e) - e^{0}))$

Passaggio 7.3.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 - ((e) - e^{0}))$

Passaggio 7.3.5

Somma $e$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - ((e) - e^{0}))$

Passaggio 7.3.6

Semplifica.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - e^{0}))$

Passaggio 7.3.7

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1 \cdot 1))$

Passaggio 7.3.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1))$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

Passaggio 8.2

Sottrai $e$ da $e$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (0 + 1)$

Passaggio 8.3

Somma $0$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1)$

Passaggio 9

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot 1$

Passaggio 9.2

Somma $1$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

Passaggio 10

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

Passaggio 10.1.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 1 \cdot 1$

Passaggio 10.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$A (x) = 1$

Passaggio 11