Calcolo Esempi

$\frac{1}{1 - e^{- x}}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{1 - e^{- x}}$ come ${(1 - e^{- x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - e^{- x})}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 - e^{- x}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $1 - e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 - e^{- x}$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 3.5

Moltiplica.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 {(1 - e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ${(1 - e^{- x})}^{- 2}$ per $1$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 5.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$- 1 \cdot ({(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x})$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi $- 1 {(1 - e^{- x})}^{- 2}$ come $- {(1 - e^{- x})}^{- 2}$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riordina i fattori di $- {(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$- e^{- x} {(1 - e^{- x})}^{- 2}$

Passaggio 6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- e^{- x} \frac{1}{{(1 - e^{- x})}^{2}}$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{{(1 - e^{- x})}^{2}}$ e $e^{- x}$ .

$- \frac{e^{- x}}{{(1 - e^{- x})}^{2}}$