Calcolo Esempi

$y = x^{3} - 15 x$ , $y = x$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{3} - 15 x = x$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{3} - 15 x = x$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 15 x - x = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Sottrai $x$ da $- 15 x$ .

$x^{3} - 16 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 16 x = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $x$ da $- 16 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 16 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ .

$x (x^{2} - 16) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Passaggio 1.2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 4) (x - 4) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0 + y = x$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 4) (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, - 4, 4$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$y = 0$

Passaggio 1.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $- 4$ a $x$ .

$y = - 4$

Passaggio 1.4.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - 4$

Passaggio 1.5

Risolvi $y$ quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

$y = 4$

Passaggio 1.5.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 4$

Passaggio 1.6

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x d x - \int_{- 4}^{0} x d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 4$ e $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x - (x) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $x$ da $- 15 x$ .

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 16 x d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} d x + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

Passaggio 3.5

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 16$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 \int_{- 4}^{0} x d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0})$

Passaggio 3.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Passaggio 3.7.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Calcola $\frac{1}{4} x^{4}$ per $0$ e per $- 4$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Passaggio 3.7.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $0$ e per $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 256 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.4

Moltiplica $256$ per $- 1$ .

$0 - 256 (\frac{1}{4}) - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.5

$- 256$ e $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 256}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.6

Elimina il fattore comune di $- 256$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.6.1

Scomponi $4$ da $- 256$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.6.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 (1)} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 \cdot 1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{- 64}{1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.6.2.4

Dividi $- 64$ per $1$ .

$0 - 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.7

Sottrai $64$ da $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.9

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.9.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 64 - 16 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.9.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.10

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{16}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.11

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.11.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.11.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Passaggio 3.7.2.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Passaggio 3.7.2.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 64 - 16 (0 - \frac{8}{1})$

Passaggio 3.7.2.3.11.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$- 64 - 16 (0 - 1 \cdot 8)$

Passaggio 3.7.2.3.12

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 64 - 16 (0 - 8)$

Passaggio 3.7.2.3.13

Sottrai $8$ da $0$ .

$- 64 - 16 \cdot - 8$

Passaggio 3.7.2.3.14

Moltiplica $- 16$ per $- 8$ .

$- 64 + 128$

Passaggio 3.7.2.3.15

Somma $- 64$ e $128$ .

$64$

Passaggio 4

$A r e a = \int_{0}^{4} x d x - \int_{0}^{4} x^{3} - 15 x d x$

Passaggio 5

Integra per trovare l'area tra $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{4} x - (x^{3} - 15 x) d x$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x - x^{3} - (- 15 x)$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $- 15$ per $- 1$ .

$x - x^{3} + 15 x$

$\int_{0}^{4} x - x^{3} + 15 x d x$

Passaggio 5.3

Somma $x$ e $15 x$ .

$\int_{0}^{4} - x^{3} + 16 x d x$

Passaggio 5.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{4} - x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Passaggio 5.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Passaggio 5.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Passaggio 5.7

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Passaggio 5.8

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , sposta $16$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 \int_{0}^{4} x d x$

Passaggio 5.9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Passaggio 5.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Passaggio 5.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.1

Calcola $\frac{x^{4}}{4}$ per $4$ e per $0$ .

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Passaggio 5.10.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $4$ e per $0$ .

$- (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$- (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.2

Elimina il fattore comune di $256$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $256$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.2.2.4

Dividi $64$ per $1$ .

$- (64 - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- (64 - \frac{0}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.4.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$- (64 - \frac{4 (0)}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.4.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (64 - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- (64 - 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- (64 + 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.6

Somma $64$ e $0$ .

$- 1 \cdot 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.7

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$- 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.8

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.9

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.9.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 64 + 16 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.9.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.11

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.11.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Passaggio 5.10.2.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.11.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 5.10.2.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 5.10.2.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{1})$

Passaggio 5.10.2.3.11.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- 64 + 16 (8 - 0)$

Passaggio 5.10.2.3.12

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 64 + 16 (8 + 0)$

Passaggio 5.10.2.3.13

Somma $8$ e $0$ .

$- 64 + 16 \cdot 8$

Passaggio 5.10.2.3.14

Moltiplica $16$ per $8$ .

$- 64 + 128$

Passaggio 5.10.2.3.15

Somma $- 64$ e $128$ .

$64$

Passaggio 6

Somma $64$ e $64$ .

$128$

Passaggio 7