Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\ln (7)} \frac{e^{x}}{e^{x} + 2} d x$

Passaggio 1

Sia $u = e^{x} + 2$ . Allora $d u = e^{x} d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = e^{x} + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $e^{x} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 2]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$e^{x}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = e^{x} + 2$ .

$u_{lower} = e^{0} + 2$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$u_{lower} = 3$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = e^{x} + 2$ .

$u_{upper} = e^{\ln (7)} + 2$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$u_{upper} = 7 + 2$

Passaggio 1.5.2

Somma $7$ e $2$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{3}^{9} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{3}^{9}$

Passaggio 3

Calcola $\ln (| u |)$ per $9$ e per $3$ .

$\ln (| 9 |) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 9 |}{| 3 |})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $9$ è $9$ .

$\ln (\frac{9}{| 3 |})$

Passaggio 5.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\ln (\frac{9}{3})$

Passaggio 5.3

Dividi $9$ per $3$ .

$\ln (3)$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (3)$

Forma decimale:

$1.09861228 \dots$

Passaggio 7