Calcolo Esempi

$\int_{- 8}^{0} (\frac{y}{8} + \sqrt{y + 9}) d y$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} + \sqrt{y + 9} d y$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} \int_{- 8}^{0} y d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Passaggio 5

Sia $u = y + 9$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = y + 9$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 9$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $9$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $9$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Sostituisci il limite inferiore a $y$ in $u = y + 9$ .

$u_{lower} = - 8 + 9$

Passaggio 5.3

Somma $- 8$ e $9$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci il limite superiore a $y$ in $u = y + 9$ .

$u_{upper} = 0 + 9$

Passaggio 5.5

Somma $0$ e $9$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Passaggio 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola $\frac{1}{2} y^{2}$ per $0$ e per $- 8$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Passaggio 8.2

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $9$ e per $1$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.3

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} \cdot 64) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.4

Moltiplica $64$ per $- 1$ .

$\frac{1}{8} (0 - 64 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.5

$- 64$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 64}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.6

Elimina il fattore comune di $- 64$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.1

Scomponi $2$ da $- 64$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 32}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.6.2.4

Dividi $- 32$ per $1$ .

$\frac{1}{8} (0 - 32) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.7

Sottrai $32$ da $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot - 32 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.8

$\frac{1}{8}$ e $- 32$ .

$\frac{- 32}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.9

Elimina il fattore comune di $- 32$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.9.1

Scomponi $8$ da $- 32$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.9.2.1

Scomponi $8$ da $8$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 \cdot - 4}{8 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 4}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.9.2.4

Dividi $- 4$ per $1$ .

$- 4 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.10

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.11

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.12

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.12.1

Elimina il fattore comune.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.12.2

Riscrivi l'espressione.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.13

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.14

$\frac{2}{3}$ e $27$ .

$- 4 + \frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.15

Moltiplica $2$ per $27$ .

$- 4 + \frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.16

Elimina il fattore comune di $54$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.16.1

Scomponi $3$ da $54$ .

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.16.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 4 + \frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.16.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.17

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1$

Passaggio 8.3.18

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 4 + 18 - \frac{2}{3}$

Passaggio 8.3.19

Per scrivere $18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 4 + 18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Passaggio 8.3.20

$18$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 4 + \frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Passaggio 8.3.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 4 + \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Passaggio 8.3.22

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.22.1

Moltiplica $18$ per $3$ .

$- 4 + \frac{54 - 2}{3}$

Passaggio 8.3.22.2

Sottrai $2$ da $54$ .

$- 4 + \frac{52}{3}$

Passaggio 8.3.23

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{52}{3}$

Passaggio 8.3.24

$- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{52}{3}$

Passaggio 8.3.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 4 \cdot 3 + 52}{3}$

Passaggio 8.3.26

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.26.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$\frac{- 12 + 52}{3}$

Passaggio 8.3.26.2

Somma $- 12$ e $52$ .

$\frac{40}{3}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{40}{3}$

Forma decimale:

$13.\overline{3}$

Forma numero misto:

$13 \frac{1}{3}$

Passaggio 10