Calcolo Esempi

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riordina i fattori di $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 1.3.2

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Passaggio 1.3.3

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 1.3.4

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\sin (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 2.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 2.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\sin (2 x) = 0$

Passaggio 4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (0)$

Passaggio 5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$2 x = 0$

Passaggio 6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 7

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - 0$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 x = π + 0$

Passaggio 8.1.2

Somma $π$ e $0$ .

$2 x = π$

Passaggio 8.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 9

La soluzione dell'equazione $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 \cos (2 (0))$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$2 \cos (0)$

Passaggio 11.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 11.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 12

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \sin^{2} (0)$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (0) = 0^{2}$

Passaggio 13.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 13.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \cos (2 \frac{π}{2})$

Passaggio 15.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \cos (π)$

Passaggio 15.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$2 (- \cos (0))$

Passaggio 15.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 15.4

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \cdot - 1$

Passaggio 15.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2$

Passaggio 16

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 17

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 17.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1^{2}$

Passaggio 17.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Passaggio 17.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 18

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

$(\frac{π}{2}, 1)$ è un massimo locale

Passaggio 19