Calcolo Esempi

$x^{y} = e^{x - y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della potenza generalizzata secondo cui $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = x$ e $g = y$ .

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riordina i termini.

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

Passaggio 2.4.2

Riordina i fattori in $x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ .

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - y$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 3.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{x - y} (1 - y')$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = e^{x - y} (1 - y')$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori in $y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$ .

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} (1 - y')$

Passaggio 5.2

Semplifica $e^{x - y} (1 - y')$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')$

Passaggio 5.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $e^{x - y}$ per $1$ .

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} + e^{x - y} (- y')$

Passaggio 5.2.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} - e^{x - y} y'$

Passaggio 5.2.2.3

Riordina i fattori in $e^{x - y} - e^{x - y} y'$ .

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} - y' e^{x - y}$

Passaggio 5.3

Somma $y' e^{x - y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y} = e^{x - y}$

Passaggio 5.4

Sottrai $y x^{y - 1}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y} = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

Passaggio 5.5

Scomponi $y'$ da $y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y}$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $y'$ da $y' x^{y} \ln (x)$ .

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $y'$ da $y' e^{x - y}$ .

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $y'$ da $y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y})$ .

$y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

Passaggio 5.6

Dividi per $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ ciascun termine in $y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$ e semplifica.

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Passaggio 5.6.1

Dividi per $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ ciascun termine in $y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$ .

$\frac{y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y})}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ .

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Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y})}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.6.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{e^{x - y} - y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x - y} - y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$