Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{3 x + x^{2} - 4}{x - 1}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x + x^{2} - 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{3 lim_{x \to 1} x + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{3 lim_{x \to 1} x + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 1 + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 1 + 1^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{3 + 1^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3 + 1 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{3 + 1 - 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x + x^{2} - 4}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica.

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Passaggio 1.3.6.1

Somma $3 + 2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 + 2 x}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.6.2

Riordina i termini.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 3}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 3}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.10

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 3}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $2 x + 3$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} 2 x + 3$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 3$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 3$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$2 lim_{x \to 1} x + 3$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$2 \cdot 1 + 3$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 3$

Passaggio 4.2

Somma $2$ e $3$ .

$5$