Calcolo Esempi

$\int 3 x {(x + 6)}^{2} d x$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int x {(x + 6)}^{2} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x + 6$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = x + 6$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int (u - 6) u^{2} d u$

Passaggio 3

Espandi $(u - 6) u^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 \int u \cdot u^{2} - 6 u^{2} d u$

Passaggio 3.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$3 \int u^{1} u^{2} - 6 u^{2} d u$

Passaggio 3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 \int u^{1 + 2} - 6 u^{2} d u$

Passaggio 3.4

Somma $1$ e $2$ .

$3 \int u^{3} - 6 u^{2} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$3 (\int u^{3} d u + \int - 6 u^{2} d u)$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 6 u^{2} d u)$

Passaggio 6

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 6$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 \int u^{2} d u)$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Passaggio 8

Semplifica.

$3 (\frac{u^{4}}{4} - 2 u^{3}) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 6$ .

$3 (\frac{{(x + 6)}^{4}}{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$

Passaggio 10

Riordina i termini.

$3 (\frac{1}{4} {(x + 6)}^{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$