Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{\arctan (x + h) - \arctan (x)}{h}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} \arctan (x + h) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \arctan (x + h) - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{x - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci $t$ a $x + h$ e lascia che $t$ tenda a $x$ , poiché $lim_{h \to 0} x + h = x$ .

$\frac{lim_{t \to x} \arctan (t) - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $\arctan (x)$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{t \to x} \arctan (t) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.5

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{\arctan (x) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.6

Sottrai $\arctan (x)$ da $\arctan (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{\arctan (x + h) - \arctan (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h) - \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h) - \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\arctan (x + h) - \arctan (x)$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = \arctan (h)$ e $g (h) = x + h$ .

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Passaggio 1.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + h$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $x$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.5

Somma $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.6

Moltiplica $\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- \arctan (x)$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- \arctan (x)$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica.

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Passaggio 1.3.5.1

Somma $\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.2

Riordina i termini.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}}{1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1} \cdot 1$

Passaggio 1.5

Moltiplica $\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + 1}$

Passaggio 2.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + 1}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

Passaggio 2.4

Sposta l'esponente $2$ da ${(x + h)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

Passaggio 2.6

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{1}{{(x + 0)}^{2} + 1}$

Passaggio 4

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1}$