Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \arccos (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \arccos (x)$ e $d v = 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

Passaggio 2

$x$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + 1 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ per $1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 5.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 5.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 5.5.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 5.5.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.5.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Passaggio 5.5.4

Sottrai $1$ da $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 6.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 9

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 9.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 9.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 9.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 9.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola $\arccos (x) x$ per $\frac{1}{2}$ e per $0$ .

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 11.2

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $\frac{3}{4}$ e per $1$ .

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 11.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 11.3.2

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 \arccos (0) - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $0$ per $\arccos (0)$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 11.3.4

Somma $\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2}$ e $0$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 11.3.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Passaggio 11.3.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Passaggio 11.3.7

Per scrivere $- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 11.3.8

$- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

Passaggio 11.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

Passaggio 11.3.10

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Passaggio 11.3.11

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 2}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Passaggio 11.3.12

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.12.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Passaggio 11.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.12.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Passaggio 11.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Passaggio 11.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 1}{1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Passaggio 11.3.12.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Passaggio 12.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

Passaggio 12.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

Passaggio 12.1.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

Passaggio 12.1.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

Passaggio 12.1.2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)}{2}$

Passaggio 12.1.2.2.4

Calcola l'esponente.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

Passaggio 12.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

Passaggio 12.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{π}{3} - (3^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Passaggio 12.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} - - 2}{2}$

Passaggio 12.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} + 2}{2}$

Passaggio 12.1.5

Per scrivere $- 3^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} + 2}{2}$

Passaggio 12.1.6

$- 3^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} + \frac{- 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

Passaggio 12.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

Passaggio 12.1.8

Moltiplica $3^{\frac{1}{2}}$ per $3$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.8.1

Sposta $3$ .

$\frac{\frac{π - (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

Passaggio 12.1.8.2

Moltiplica $3$ per $3^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.8.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{π - (3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

Passaggio 12.1.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{π - 3^{1 + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Passaggio 12.1.8.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Passaggio 12.1.8.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2 + 1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Passaggio 12.1.8.5

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2}{2}$

Passaggio 12.1.9

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}{2}$

Passaggio 12.1.10

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}{2}$

Passaggio 12.1.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3}{3}}{2}$

Passaggio 12.1.12

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}}{2}$

Passaggio 12.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 12.3

Moltiplica $\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Moltiplica $\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3 \cdot 2}$

Passaggio 12.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

Forma decimale:

$0.65757337 \dots$