Calcolo Esempi

$y = {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = a + \frac{b}{x^{2}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $a + \frac{b}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $a + \frac{b}{x^{2}}$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a + \frac{b}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

Passaggio 2.2

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$

Passaggio 2.4

Poiché $b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{b}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 2.5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.5.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

Passaggio 2.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (- 2 x^{- 3}))$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (x^{- 3}))$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.2.1

$b$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{b}{x^{3}}$

Passaggio 3.2.2

$\frac{b}{x^{3}}$ e $- 6$ .

$\frac{b \cdot - 6}{x^{3}} {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$

Passaggio 3.2.3

$\frac{b \cdot - 6}{x^{3}}$ e ${(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$ .

$\frac{b \cdot - 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 3.2.4

Sposta $- 6$ alla sinistra di $b$ .

$\frac{- 6 \cdot b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 3.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{6 b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Per scrivere $a$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2}}{x^{2}} + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2} + b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 3.3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{a x^{2} + b}{x^{2}}$ .

$- \frac{6 b \frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Passaggio 3.3.4

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 3.3.4.1

$6$ e $\frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{b \frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Passaggio 3.3.4.2

$b$ e $\frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{\frac{b (6 {(a x^{2} + b)}^{2})}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Passaggio 3.3.5

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{2 \cdot 2}}}{x^{3}}$

Passaggio 3.3.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

Passaggio 3.3.7

Sposta $6$ alla sinistra di $b$ .

$- \frac{\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 3.5

Combina.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4} x^{3}}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.6.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4 + 3}}$

Passaggio 3.6.2

Somma $4$ e $3$ .

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{7}}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $6 b {(a x^{2} + b)}^{2}$ per $1$ .

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{7}}$