Calcolo Esempi

$f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 0.5 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.5 \cdot x^{4}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 0.5 \cdot x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - 0.5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = - 0.5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 0.5$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 3 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x^{3} + 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 x^{2} + 6$ .

$- 6 x^{2} + 6$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 6 x^{2} + 6 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 6 x^{2} + 6 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 x^{2} = - 6$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 x^{2} = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 x^{2} = - 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 6}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $- 6$ per $- 6$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 2.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 2.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $1$ in $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - 0.5 \cdot {(1)}^{4} + 3 {(1)}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 0.5 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $- 0.5$ per $1$ .

$f (1) = - 0.5 + 3 {(1)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 0.5 + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = - 0.5 + 3$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $- 0.5$ e $3$ .

$f (1) = 2.5$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $2.5$ .

$2.5$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $1$ in $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ è $(1, 2.5)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(1, 2.5)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 1$ in $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - 0.5 \cdot {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1) = - 0.5 \cdot 1 + 3 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $- 0.5$ per $1$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3 \cdot 1$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 0.5$ e $3$ .

$f (- 1) = 2.5$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $2.5$ .

$2.5$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 1$ in $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ è $(- 1, 2.5)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1, 2.5)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(1, 2.5), (- 1, 2.5)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.1$ nell'espressione.

$f'' (- 1.1) = - 6 {(- 1.1)}^{2} + 6$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 6 \cdot 1.21 + 6$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.26 + 6$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 7.26$ e $6$ .

$f'' (- 1.1) = - 1.26$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 1.26$ .

$- 1.26$

Passaggio 5.3

Per $- 1.1$ , la derivata seconda è $- 1.26$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - 6 {(0)}^{2} + 6$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 + 6$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

Passaggio 6.2.2

Somma $0$ e $6$ .

$f'' (0) = 6$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $6$ .

$6$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $0$ , la derivata seconda è $6$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 1, 1)$ .

Crescente su $(- 1, 1)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.1$ nell'espressione.

$f'' (1.1) = - 6 {(1.1)}^{2} + 6$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = - 6 \cdot 1.21 + 6$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 7.26 + 6$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 7.26$ e $6$ .

$f'' (1.1) = - 1.26$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 1.26$ .

$- 1.26$

Passaggio 7.3

Per $1.1$ , la derivata seconda è $- 1.26$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(1, \infty)$ .

Decrescente su $(1, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, 2.5), (1, 2.5)$ .

$(- 1, 2.5), (1, 2.5)$

Passaggio 9