Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{1 - \sqrt{x}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + 4 x - 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 4 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 4 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1^{2} + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{1 + 4 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{1 + 4 - 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Sottrai $5$ da $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{1 - \sqrt{x}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $2 x + 4$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sqrt{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Passaggio 1.3.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 1.3.9.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 1.3.9.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Passaggio 1.3.9.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Passaggio 1.3.9.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Passaggio 1.3.9.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Passaggio 1.3.9.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.9.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Passaggio 1.3.9.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Passaggio 1.3.9.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.3.9.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Passaggio 1.3.9.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.3.10

Sottrai $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ da $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 1} (2 x + 4) (- (2 x^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 1.5

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} (2 x + 4) (- (2 \sqrt{x}))$

Passaggio 1.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 1} (2 x + 4) (- 2 \sqrt{x})$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $- 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 1} (2 x + 4) \sqrt{x}$

Passaggio 2.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$- 2 lim_{x \to 1} 2 x + 4 \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$- 2 (lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 4) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Passaggio 2.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 2 (2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 4) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Passaggio 2.5

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$- 2 (2 lim_{x \to 1} x + 4) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Passaggio 2.6

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$- 2 (2 lim_{x \to 1} x + 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$- 2 (2 \cdot 1 + 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$- 2 (2 \cdot 1 + 4) \cdot \sqrt{1}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 (2 + 4) \cdot \sqrt{1}$

Passaggio 4.2

Somma $2$ e $4$ .

$- 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{1}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$- 12 \cdot \sqrt{1}$

Passaggio 4.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$- 12 \cdot 1$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$- 12$