Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} - 5}{x + 1}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1

Per scrivere $- 5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} - 5 \cdot \frac{x}{x}}{x + 1}$

Passaggio 1.2

$- 5$ e $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} + \frac{- 5 x}{x}}{x + 1}$

Passaggio 1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- 5 - 5 x}{x}}{x + 1}$

Passaggio 2

Semplifica l'argomento del limite.

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Passaggio 2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{- 5 - 5 x}{x}$ per $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x (x + 1)}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - 1} - 5 - 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 3.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{- lim_{x \to - 1} 5 - lim_{x \to - 1} 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot 5 - lim_{x \to - 1} 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- 5 - 5 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Passaggio 3.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{- 5 - 5 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1.2.3.1

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$\frac{- 5 + 5}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Somma $- 5$ e $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 3.1.3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot (lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}$

Passaggio 3.1.3.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

Passaggio 3.1.3.4

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

Passaggio 3.1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (- 1 + 1)}$

Passaggio 3.1.3.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1.3.5.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 0}$

Passaggio 3.1.3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.5.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x (x + 1)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 5 - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Passaggio 3.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Passaggio 3.3.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Passaggio 3.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Passaggio 3.3.4.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Passaggio 3.3.5

Sottrai $5$ da $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.10

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.11

Moltiplica $x$ per $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + (x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 3.3.13

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + x + 1}$

Passaggio 3.3.14

Somma $x$ e $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{2 x + 1}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Sposta il termine $- 5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 5 lim_{x \to - 1} \frac{1}{2 x + 1}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Passaggio 4.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Passaggio 4.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Passaggio 4.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 5 \frac{1}{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Passaggio 4.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$- 5 \frac{1}{2 \cdot - 1 + 1}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{- 2 + 1}$

Passaggio 6.1.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$- 5 (\frac{1}{- 1})$

Passaggio 6.2

Dividi $1$ per $- 1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$5$