Calcolo Esempi

$e^{x y} = e^{4 x} - e^{5 y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (e^{x y}) = \frac{d}{d x} (e^{4 x} - e^{5 y})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$e^{x y} (x y' + y)$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y$

Passaggio 2.6.2

Riordina i termini.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{4 x} - e^{5 y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$

Passaggio 3.2.5

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{5 y}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{5 y}]$ .

$4 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{5 y}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 y$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 y$ .

$4 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 y])$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 y])$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 y$ .

$4 e^{4 x} - (e^{5 y} \frac{d}{d x} [5 y])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 y$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 e^{4 x} - (e^{5 y} (5 \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 e^{4 x} - (e^{5 y} (5 y'))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$4 e^{4 x} - 5 e^{5 y} y'$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$- 5 e^{5 y} y' + 4 e^{4 x}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y = - 5 e^{5 y} y' + 4 e^{4 x}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori in $e^{x y} x y' + e^{x y} y$ .

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = - 5 e^{5 y} y' + 4 e^{4 x}$

Passaggio 5.2

Riordina i fattori in $- 5 e^{5 y} y' + 4 e^{4 x}$ .

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = - 5 y' e^{5 y} + 4 e^{4 x}$

Passaggio 5.3

Somma $5 y' e^{5 y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} + 5 y' e^{5 y} = 4 e^{4 x}$

Passaggio 5.4

Sottrai $y e^{x y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' e^{x y} + 5 y' e^{5 y} = 4 e^{4 x} - y e^{x y}$

Passaggio 5.5

Scomponi $y'$ da $x y' e^{x y} + 5 y' e^{5 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scomponi $y'$ da $x y' e^{x y}$ .

$y' (x e^{x y}) + 5 y' e^{5 y} = 4 e^{4 x} - y e^{x y}$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $y'$ da $5 y' e^{5 y}$ .

$y' (x e^{x y}) + y' (5 e^{5 y}) = 4 e^{4 x} - y e^{x y}$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $y'$ da $y' (x e^{x y}) + y' (5 e^{5 y})$ .

$y' (x e^{x y} + 5 e^{5 y}) = 4 e^{4 x} - y e^{x y}$

Passaggio 5.6

Dividi per $x e^{x y} + 5 e^{5 y}$ ciascun termine in $y' (x e^{x y} + 5 e^{5 y}) = 4 e^{4 x} - y e^{x y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Dividi per $x e^{x y} + 5 e^{5 y}$ ciascun termine in $y' (x e^{x y} + 5 e^{5 y}) = 4 e^{4 x} - y e^{x y}$ .

$\frac{y' (x e^{x y} + 5 e^{5 y})}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}} = \frac{4 e^{4 x}}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $x e^{x y} + 5 e^{5 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x e^{x y} + 5 e^{5 y})}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}} = \frac{4 e^{4 x}}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{4 e^{4 x}}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.6.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{4 e^{4 x} - y e^{x y}}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 e^{4 x} - y e^{x y}}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}}$