Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 4.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{- x})$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{2}$ e $e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} e^{x} - \frac{e^{- x}}{2}$

Passaggio 5.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}$