Calcolo Esempi

$e^{x} \sin (x^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$e^{x} (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$e^{x} (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{x} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) e^{x}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riordina i termini.

$2 e^{x} x \cos (x^{2}) + e^{x} \sin (x^{2})$

Passaggio 5.2

Riordina i fattori in $2 e^{x} x \cos (x^{2}) + e^{x} \sin (x^{2})$ .

$2 x e^{x} \cos (x^{2}) + e^{x} \sin (x^{2})$