Calcolo Esempi

$1 - \arctan (e^{t})$

Passaggio 1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \arctan (e^{t})$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$

Passaggio 1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \arctan (e^{t})$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [\arctan (e^{t})]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [\arctan (e^{t})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \arctan (t)$ e $g (t) = e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $e^{t}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{t}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{t})}^{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{t})}^{2}} e^{t})$

Passaggio 2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{t})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + e^{t \cdot 2}} e^{t})$

Passaggio 2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $t$ .

$0 - (\frac{1}{1 + e^{2 t}} e^{t})$

Passaggio 2.5

$\frac{1}{1 + e^{2 t}}$ e $e^{t}$ .

$0 - \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$

Passaggio 3

Sottrai $\frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$ da $0$ .

$- \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$