Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{5}{7} x - \frac{1}{10} x^{6} + \frac{1}{6} x^{- 1} - \frac{1}{10} x^{5}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5}{7} x - \frac{1}{10} x^{6} + \frac{1}{6} x^{- 1} - \frac{1}{10} x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5}{7} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{7} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5}{7} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{5}{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{7} x$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5}{7} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $\frac{5}{7}$ per $1$ .

$\frac{5}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- \frac{1}{10}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{10} x^{6}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{5}{7} - \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{5}{7} - \frac{1}{10} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{5}{7} - 6 (\frac{1}{10}) x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.3.4

$- 6$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{7} + \frac{- 6}{10} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.3.5

$\frac{- 6}{10}$ e $x^{5}$ .

$\frac{5}{7} + \frac{- 6 x^{5}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.3.6

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Scomponi $2$ da $- 6 x^{5}$ .

$\frac{5}{7} + \frac{2 (- 3 x^{5})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{5}{7} + \frac{2 (- 3 x^{5})}{2 (5)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{7} + \frac{2 (- 3 x^{5})}{2 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{7} + \frac{- 3 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{6} x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{1}{6} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.4.3

$\frac{1}{6}$ e $x^{- 2}$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{x^{- 2}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.4.4

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $- \frac{1}{10}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{10} x^{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} - \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} - \frac{1}{10} (5 x^{4})$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} - 5 (\frac{1}{10}) x^{4}$

Passaggio 1.5.4

$- 5$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{- 5}{10} x^{4}$

Passaggio 1.5.5

$\frac{- 5}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{- 5 x^{4}}{10}$

Passaggio 1.5.6

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1

Scomponi $5$ da $- 5 x^{4}$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5 (- x^{4})}{10}$

Passaggio 1.5.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (2)}$

Passaggio 1.5.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{- x^{4}}{2}$

Passaggio 1.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} - \frac{x^{4}}{2}$

Passaggio 1.6

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5}{7}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5}{7}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{5}}{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- \frac{3}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3 x^{5}}{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.2.4

$- 5$ e $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.2.6

$\frac{- 15}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.2.7

Elimina il fattore comune di $- 15$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Scomponi $5$ da $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.2.7.2.4

Dividi $- 3 x^{4}$ per $1$ .

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{4}}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 x^{4} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 3 x^{4} - \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 3 x^{4} - 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.3.4

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 3 x^{4} + \frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.3.5

$\frac{- 4}{2}$ e $x^{3}$ .

$- 3 x^{4} + \frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.3.6

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Scomponi $2$ da $- 4 x^{3}$ .

$- 3 x^{4} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 3 x^{4} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 3 x^{4} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 x^{4} + \frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.3.6.2.4

Dividi $- 2 x^{3}$ per $1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- \frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{6 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.10

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + 2 (\frac{1}{6}) x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.11

$2$ e $\frac{1}{6}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2}{6} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.12

$\frac{2}{6}$ e $x^{- 3}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2 x^{- 3}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.13

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2}{6 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.14

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.14.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2 (1)}{6 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.14.2.1

Scomponi $2$ da $6 x^{3}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2 (1)}{2 (3 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.4.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $\frac{5}{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{7}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}} + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 12 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3 x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 3.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.4.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.4.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Passaggio 3.4.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- 3 x^{2 - 6})$

Passaggio 3.4.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 3.4.8

$- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{- 3}{3} x^{- 4}$

Passaggio 3.4.9

$\frac{- 3}{3}$ e $x^{- 4}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{3}$

Passaggio 3.4.10

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{- 3}{3 x^{4}}$

Passaggio 3.4.11

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

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Passaggio 3.4.11.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

Passaggio 3.4.11.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.4.11.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{4}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{4})}$

Passaggio 3.4.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

Passaggio 3.4.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{- 1}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - 12 x^{3} - 6 x^{2} - \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 4

La derivata terza di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 12 x^{3} - 6 x^{2} - \frac{1}{x^{4}}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} - \frac{1}{x^{4}}$