Calcolo Esempi

$3 y^{3} = - 3 + 3 x^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 3 + 3 x^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$9 y^{2} y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia.

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Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 + 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 3 (2 x)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$0 + 6 x$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $6 x$ .

$6 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$9 y^{2} y' = 6 x$

Passaggio 5

Dividi per $9 y^{2}$ ciascun termine in $9 y^{2} y' = 6 x$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $9 y^{2}$ ciascun termine in $9 y^{2} y' = 6 x$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{6 x}{9 y^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{6 x}{9 y^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{6 x}{9 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{6 x}{9 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{6 x}{9 y^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$y' = \frac{3 (2 x)}{9 y^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $9 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (2 x)}{3 (3 y^{2})}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 (2 x)}{3 (3 y^{2})}$

Passaggio 5.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$