Calcolo Esempi

$y = \sin (x)$ , $y = 5 x$ , $x = \frac{π}{2}$ , $x = π$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\sin (x) = 5 x$

Passaggio 1.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = 0$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = 5 (0)$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $0$ per $x$ in $y = 5 (0)$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 5 (0)$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $5$ per $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x d x - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $\frac{π}{2}$ e $π$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x - (\sin (x)) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $\sin (x)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x - \sin (x) d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Passaggio 3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Passaggio 3.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Passaggio 3.6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Passaggio 3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Passaggio 3.8

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Passaggio 3.9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.9.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.9.1.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $π$ e per $\frac{π}{2}$ .

$5 ((\frac{π^{2}}{2}) - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Passaggio 3.9.1.2

Calcola $- \cos (x)$ per $π$ e per $\frac{π}{2}$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Passaggio 3.9.2

Semplifica.

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Passaggio 3.9.2.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (π) + 0)$

Passaggio 3.9.2.2

Somma $- \cos (π)$ e $0$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - - \cos (π)$

Passaggio 3.9.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + 1 \cos (π)$

Passaggio 3.9.2.4

Moltiplica $\cos (π)$ per $1$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \cos (π)$

Passaggio 3.9.3

Semplifica.

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Passaggio 3.9.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.9.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{π}{2}$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{\frac{π^{2}}{2^{2}}}{2}) + \cos (π)$

Passaggio 3.9.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{\frac{π^{2}}{4}}{2}) + \cos (π)$

Passaggio 3.9.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - (\frac{π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2})) + \cos (π)$

Passaggio 3.9.3.3

Combina.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2} \cdot 1}{4 \cdot 2}) + \cos (π)$

Passaggio 3.9.3.4

Moltiplica $π^{2}$ per $1$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2}) + \cos (π)$

Passaggio 3.9.3.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Passaggio 3.9.3.6

Per scrivere $\frac{π^{2}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Passaggio 3.9.3.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.9.3.7.1

Moltiplica $\frac{π^{2}}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Passaggio 3.9.3.7.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$5 (\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Passaggio 3.9.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Passaggio 3.9.3.9

Sposta $4$ alla sinistra di $π^{2}$ .

$5 \frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Passaggio 3.9.3.10

Sottrai $π^{2}$ da $4 π^{2}$ .

$5 \frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Passaggio 3.9.3.11

Moltiplica $5 \frac{3 π^{2}}{8}$ .

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Passaggio 3.9.3.11.1

$5$ e $\frac{3 π^{2}}{8}$ .

$\frac{5 (3 π^{2})}{8} + \cos (π)$

Passaggio 3.9.3.11.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{15 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Passaggio 3.10

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.10.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{15 π^{2}}{8} - \cos (0)$

Passaggio 3.10.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{15 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.10.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{15 π^{2}}{8} - 1$

Passaggio 4