Calcolo Esempi

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + {(\frac{i}{n})}^{2}}$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{i}{n}$ .

$\frac{1}{1 + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

Passaggio 1.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

Passaggio 1.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{\frac{n^{2} + i^{2}}{n^{2}}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica $\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$ per $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Passaggio 1.4

Riscrivi la sommatoria.

$\frac{1}{n \sum_{i = 1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}}$

Passaggio 2

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 3

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(\frac{1}{n}) ((\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n))$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $n$ da $(\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n)$ .

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

Passaggio 4.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

Passaggio 4.1.3

Riscrivi l'espressione.

$(\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n$

Passaggio 4.2

$\frac{n}{n^{2} + i^{2}}$ e $n$ .

$\frac{n \cdot n}{n^{2} + i^{2}}$

Passaggio 4.3

Eleva $n$ alla potenza di $1$ .

$\frac{n^{1} n}{n^{2} + i^{2}}$

Passaggio 4.4

Eleva $n$ alla potenza di $1$ .

$\frac{n^{1} n^{1}}{n^{2} + i^{2}}$

Passaggio 4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{n^{1 + 1}}{n^{2} + i^{2}}$

Passaggio 4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Passaggio 4.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1}$

Passaggio 4.7.2

Riscrivi $n^{2} - 1$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 4.7.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = n$ e $b = 1$ .

$\frac{n^{2}}{(n + 1) (n - 1)}$