Calcolo Esempi

$\ln (2 e^{t} - 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 2 e^{t} - 1$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 e^{t} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 e^{t} - 1$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 e^{t} - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 e^{t}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.1

Somma $2 e^{t}$ e $0$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})$

Passaggio 4.2.2

$2$ e $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ .

$\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}$

Passaggio 4.2.3

$\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ e $e^{t}$ .

$\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}$