Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \arctan (4 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \arctan (4 x)$ e $d v = 1$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{4}{16 x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$x$ e $\frac{4}{16 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x \cdot 4}{16 x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{4 x}{16 x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - (4 \int_{0}^{1} \frac{x}{16 x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 \int_{0}^{1} \frac{x}{16 x^{2} + 1} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 16 x^{2} + 1$ . Allora $d u = 32 x d x$ , quindi $\frac{1}{32} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 16 x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $16 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{2}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$16 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $16$ .

$32 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$32 x + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $32 x$ e $0$ .

$32 x$

Passaggio 5.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 16 x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 16 \cdot 0^{2} + 1$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 16 \cdot 0 + 1$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $16$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 5.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 16 x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 16 \cdot 1^{2} + 1$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 16 \cdot 1 + 1$

Passaggio 5.5.1.2

Moltiplica $16$ per $1$ .

$u_{upper} = 16 + 1$

Passaggio 5.5.2

Somma $16$ e $1$ .

$u_{upper} = 17$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 17$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 \int_{1}^{17} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{32}$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 \int_{1}^{17} \frac{1}{u \cdot 32} d u$

Passaggio 6.2

Sposta $32$ alla sinistra di $u$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 \int_{1}^{17} \frac{1}{32 u} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{32}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{32}$ fuori dall'integrale.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 (\frac{1}{32} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{32}$ e $- 4$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 4}{32} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $32$ .

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Passaggio 8.2.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{4 (- 1)}{32} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $4$ da $32$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 1}{8} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{8} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{8} \ln (| u |)]_{1}^{17}$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola $\arctan (4 x) x$ per $1$ e per $0$ .

$(\arctan (4 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (4 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{8} \ln (| u |)]_{1}^{17}$

Passaggio 10.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Calcola $\ln (| u |)$ per $17$ e per $1$ .

$(\arctan (4 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (4 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica.

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Passaggio 10.2.2.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\arctan (4) \cdot 1 - \arctan (4 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.2.2.2

Moltiplica $\arctan (4)$ per $1$ .

$\arctan (4) - \arctan (4 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.2.2.3

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\arctan (4) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\arctan (4) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.2.3.2

Moltiplica $0$ per $\arctan (0)$ .

$\arctan (4) + 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.2.4

Somma $\arctan (4)$ e $0$ .

$\arctan (4) - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.3

Semplifica.

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Passaggio 10.3.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (4) - \frac{1}{8} \ln (\frac{| 17 |}{| 1 |})$

Passaggio 10.3.2

$\ln (\frac{| 17 |}{| 1 |})$ e $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (4) - \frac{\ln (\frac{| 17 |}{| 1 |})}{8}$

Passaggio 10.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $17$ è $17$ .

$\arctan (4) - \frac{\ln (\frac{17}{| 1 |})}{8}$

Passaggio 10.4.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\arctan (4) - \frac{\ln (\frac{17}{1})}{8}$

Passaggio 10.4.3

Dividi $17$ per $1$ .

$\arctan (4) - \frac{\ln (17)}{8}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\arctan (4) - \frac{\ln (17)}{8}$

Forma decimale:

$0.97166599 \dots$