Calcolo Esempi

$\int_{- 5}^{1} (- 5 x + 4 e^{- x}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x + 4 e^{- x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 5$ fuori dall'integrale.

$- 5 \int_{- 5}^{1} x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Passaggio 5

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Passaggio 6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{- 5}^{1} e^{- x} d x$

Passaggio 7

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 7.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - x$ .

$u_{lower} = - - 5$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$u_{lower} = 5$

Passaggio 7.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 7.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 7.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 7.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{5}^{- 1} - e^{u} d u$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 (- \int_{5}^{- 1} e^{u} d u)$

Passaggio 9

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 \int_{5}^{- 1} e^{u} d u$

Passaggio 10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ e per $- 5$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

Passaggio 11.2

Calcola $e^{u}$ per $- 1$ e per $5$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Passaggio 11.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Passaggio 11.3.2

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Passaggio 11.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 5 \frac{1 - 25}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Passaggio 11.3.4

Sottrai $25$ da $1$ .

$- 5 (\frac{- 24}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Passaggio 11.3.5

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.5.1

Scomponi $2$ da $- 24$ .

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Passaggio 11.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Passaggio 11.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Passaggio 11.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 5 (\frac{- 12}{1}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Passaggio 11.3.5.2.4

Dividi $- 12$ per $1$ .

$- 5 \cdot - 12 - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Passaggio 11.3.6

Moltiplica $- 5$ per $- 12$ .

$60 - 4 (e^{- 1} - e^{5})$

Passaggio 12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 - 4 (\frac{1}{e} - e^{5})$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$60 - 4 \frac{1}{e} - 4 (- e^{5})$

Passaggio 12.3

$- 4$ e $\frac{1}{e}$ .

$60 + \frac{- 4}{e} - 4 (- e^{5})$

Passaggio 12.4

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$60 + \frac{- 4}{e} + 4 e^{5}$

Passaggio 12.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

Forma decimale:

$652.18111864 \dots$

Passaggio 14