Calcolo Esempi

$f (x) = e^{x y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (f (x)) = \frac{d}{d x} (e^{x y})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $f (x)$ è $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x y$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$e^{x y} (x y' + y)$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y$

Passaggio 3.6.2

Riordina i termini.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{d f}{d x} = e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x y} x y' + e^{x y} y = \frac{d f}{d x}$ .

$e^{x y} x y' + e^{x y} y = \frac{d f}{d x}$

Passaggio 5.2

Riordina i fattori in $e^{x y} x y' + e^{x y} y$ .

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $d$ .

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Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{f}{x}$

Passaggio 5.4

Sottrai $y e^{x y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$

Passaggio 5.5

Dividi per $x e^{x y}$ ciascun termine in $x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $x e^{x y}$ ciascun termine in $x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$ .

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune di $e^{x y}$ .

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Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.5.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{f}{x} \cdot \frac{1}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Combina.

$y' = \frac{f \cdot 1}{x (x e^{x y})} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Passaggio 5.5.3.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.5.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{f \cdot 1}{x \cdot x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Passaggio 5.5.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' = \frac{f \cdot 1}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Passaggio 5.5.3.1.4

Moltiplica $f$ per $1$ .

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Passaggio 5.5.3.1.5

Elimina il fattore comune di $e^{x y}$ .

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Passaggio 5.5.3.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Passaggio 5.5.3.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y}{x}$

Passaggio 5.5.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} - \frac{y}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} - \frac{y}{x}$