Calcolo Esempi

$y = 3 \sqrt{2 x^{2} - x - 4}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x^{2} - x - 4}$ come ${(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 3 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x^{2} - x - 4$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x^{2} - x - 4$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x^{2} - x - 4$ .

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Passaggio 4.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{{(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Passaggio 4.7.3

Sposta ${(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Passaggio 4.7.4

$\frac{1}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ e $3$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4]$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 4.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 4.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 4.11

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 4.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 4.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 4.14

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 4.15

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1 + 0)$

Passaggio 4.16

Somma $4 x - 1$ e $0$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1)$

Passaggio 4.17

Semplifica.

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Passaggio 4.17.1

Riordina i fattori di $\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1)$ .

$(4 x - 1) \frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.17.2

Moltiplica $4 x - 1$ per $\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(4 x - 1) \cdot 3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.17.3

Sposta $3$ alla sinistra di $4 x - 1$ .

$\frac{3 (4 x - 1)}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{3 (4 x - 1)}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (4 x - 1)}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$