Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{1}{x})}^{x}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(\frac{1}{x})}^{x}$ come $e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\frac{1}{x})}$

Passaggio 2

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\frac{1}{x})}$

Passaggio 3

Riscrivi $x \ln (\frac{1}{x})$ come $\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\frac{1}{x})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.3

Poiché il numeratore è una costante e il denominatore tende a $0$ quando $x$ tende a $0$ da destra, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a infinito.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.5

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 1 x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1} x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1 - 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.9

Sottrai $2$ da $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{- 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.10

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.11

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Passaggio 4.3.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}$

Passaggio 4.3.13

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}$

Passaggio 4.5

Combina i fattori.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} 1 \frac{1}{x} x^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} x^{2}}$

Passaggio 4.5.3

$\frac{1}{x}$ e $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x}}$

Passaggio 4.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 4.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x}}$

Passaggio 4.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x^{1}}}$

Passaggio 4.6.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

Passaggio 4.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

Passaggio 4.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{1}}$

Passaggio 4.6.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{0}$

Passaggio 6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1$