Calcolo Esempi

$\frac{1}{e^{2 - 5 x}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{e^{2 - 5 x}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{e^{2 - 5 x}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{e^{2 - 5 x}} d x$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Nega l'esponente di $e^{2 - 5 x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{2 - 5 x})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{2 - 5 x})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{(2 - 5 x) \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 e^{2 \cdot - 1 - 5 x \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int 1 e^{- 2 - 5 x \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$\int 1 e^{- 2 + 5 x} d x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $e^{- 2 + 5 x}$ per $1$ .

$\int e^{- 2 + 5 x} d x$

Passaggio 5

Sia $u = - 2 + 5 x$ . Allora $d u = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = - 2 + 5 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $- 2 + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 + 5 x]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

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Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$0 + 5$

Passaggio 5.1.4

Somma $0$ e $5$ .

$5$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Passaggio 6

$e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u}}{5} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} \int e^{u} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$\frac{1}{5} e^{u} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 + 5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{- 2 + 5 x} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{e^{2 - 5 x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} e^{- 2 + 5 x} + C$